题目内容
8．观察下列等式：$\sqrt{{1}^{3}}$=1，$\sqrt{{1}^{3}+{2}^{3}}$=3，$\sqrt{{1}^{3}+{2}^{3}+{3}^{3}}$=6，$\sqrt{{1}^{3}+{2}^{3}+{3}^{3}+{4}^{3}}$=10
$\sqrt{{1}^{3}+{2}^{3}+{3}^{3}+{4}^{3}+{5}^{3}}$=15
…
（Ⅰ）猜想第n（n∈N+）个等式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．
分析 （Ⅰ）归纳猜想即可，
（Ⅱ）利用数学归纳法证明即可．
解答 解：（Ⅰ）第n（n∈N+）个等式$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+…+{n}^{2}}$=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（Ⅱ）证明①当n=1时，等式显然成立，
②假设n=k时，等式成立，即$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+…+{k}^{2}}$=$\frac{k（k+1）}{2}$，
即12+22+32+…+k2=$\frac{{k}^{2}（k+1）^{2}}{4}$，
那么当n=k+1时，左边=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+…+（k+1）^{2}}$
=${\sqrt{\frac{{k}^{2}（k+1）^{2}}{4}+（k+1）^{2}}}^{\;}$=$\sqrt{\frac{（k+1）^{2}（{k}^{2}+4k+4）}{4}}$=$\sqrt{\frac{（k+1）^{2}（k+2）^{2}}{4}}$=$\frac{（k+1）（k+2）}{2}$，
所以当n=k+1时，等式成立，
由①②等式对任意n∈N*都成立．
点评 考查了数学归纳法应用、不等式的性质，考查了观察分析猜想归纳能力与计算能力，属于中档题．
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