Question

曲线C₁，C₂都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆．点M的坐标是（0，1），线段MN是C₁的短轴，是C₂的长轴．直线l：y=m（0＜m＜1）与C₁交于A，D两点（A在D的左侧），与C₂交于B，C两点（B在C的左侧）．
（Ⅰ）当m=

3

2

，|AC|=

5

4

时，求椭圆C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可设C₁的方程为

x2

a2

+y2=1，C₂的方程为

x2

b2

+y2=1，其中a＞1，0＜b＜1，由C₁，C₂的离心率相同，可建立关于a，b的方程，结合|AC|=

5

4

，可求a，b进而可求椭圆C₁，C₂的方程
（Ⅱ）由OB∥AN，可得k_OB=k_AN，从而可得m，a的关系，代入可由离心率表示a，进而可由离心率e表示m，结合m的范围可求e的范围

解答：解：（Ⅰ）设C₁的方程为

x2

a2

+y2=1，C₂的方程为

x2

b2

+y2=1，其中a＞1，0＜b＜1…（2分）
∵C₁，C₂的离心率相同，所以

a2-1

a2

=1-b2，
所以ab=1，…．…（3分）
∴C₂的方程为a²x²+y²=1．
当m=

3

2

时，A(-

a

2

，

3

2

)，C(

1

2a

，

3

2

)…．（5分）
又∵|AC|=

5

4

，所以，

1

2a

+

a

2

=

5

4

，解得a=2或a=

1

2

（舍），…．…..（6分）
∴C₁，C₂的方程分别为

x2

4

+y2=1，4x²+y²=1．…．（7分）
（Ⅱ）A（-a

1-m2

，m），B（-

1

a

1-m2

，m）． …（9分）
∵OB∥AN，∴k_OB=k_AN，
∴

m

- 1 a 1-m2

=

m+1

-a 1-m2

，
∴m=

1

a2-1

． …．（11分）
e2=

a2-1

a2

，
∴a2=

1

1-e2

，
∴m=

1-e2

e2

． …（12分）
∵0＜m＜1，
∴0＜

1-e2

e2

＜1，
∴

2

2

＜e＜1…（13分）

点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆方程，及椭圆性质的综合应用，解答本题要求考生具备综合运用知识的能力