Question

设A,B是椭圆上的两点，为坐标原点，向量，向量。

(1)设,证明:点M在椭圆上;

(2)若点P、Q为椭圆上两点，且∥试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请证明理由。

Answer 1

（1）  又

知把M点坐标代入椭圆方程左边，

得∴点M在椭圆上。

（2）1．若⊥X轴，则OA在X轴上，由∥，∴PQ⊥X轴，∵PQ⊥X轴

∵线段PQ被直线OA平分。

2．若OB∥X轴，同理可证线段PQ被直线OA平分。

2．若不与X轴垂直或平行，设PQ方程为

由

设   则

∴①

②

由①②得PQ中点在直线上，

又直线OA方程为

PQ中点在直线OA上，故线段PQ被直线OA平分。