Question

如图，F₁，F₂是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=-将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）椭圆离心率为，线l：x=-将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1：3，可确定几何量，从而可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量知识，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）设F₂（c，0），则=，所以c=1．
因为离心率e=，所以a=，所以b=1
所以椭圆C的方程为．                    …（6分）
（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x=-，此时P（，0）、Q（，0），．
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M（-，m） （m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由得（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）=0，
则-1+4mk=0，∴k=．
此时，直线PQ斜率为k₁=-4m，PQ的直线方程为，即y=-4mx-m．
联立消去y，整理得（32m²+1）x²+16m²x+2m²-2=0．
所以，．
于是=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+（4mx₁+m）（4mx₂+m）
=
==．
令t=1+32m²，1＜t＜29，则．
又1＜t＜29，所以．
综上，的取值范围为[-1，）．…（15分）
点评：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．