Question

已知函数f（x）=，x∈R
（1）求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）已知x∈R，求函数f（sinx）的最大值和最小值．
（3）若函数g（x）=f（x）+a的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数的解析式，求出导函数的值，进而分析函数的单调性和极值点，代入函数的解析式可得函数f（x）的极大值和极小值；
（2）由正弦函数值域可得sinx∈[-1，1]，结合（1）中函数的单调性分析函数f（x）在区间[-1，1]上的极值和端点的函数值，对照后可得答案．
（3）若函数g（x）=f（x）+a的图象与x轴有且只有一个交点，故函数g（x）只有一个零点，即函数g（x）的极大值与极小值同号．
解答：解；（1）∵f（x）=，
∴f′（x）=2x²-x-1，
令f′（x）=0，则x=-或x=1
由x＜-或x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；
-＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；
故当x=-时，函数f（x）的极大值
当x=1时，函数f（x）的极小值
（2）令t=sinx，t∈[-1，1]
则f（sinx）=f（t）=
由（1）可得f（t）在[-1，-]上单调递增，在[-，1]上单调递减
又∵f（-1）=，f（-）=，f（1）=
故函数f（sinx）的最大值为，最小值为
（3）若函数g（x）=f（x）+a的图象与x轴有且只有一个交点，
则函数g（x）的极大值+a与极小值+a同号
即（+a）（+a）＞0
解得a＜-或a＞-
点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的最值，利用导数求极值，函数的零点，是导函数问题的综合应用，难度中档．