Question

设函数f（x）=x³-6x+5，x∈R
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，可知函数图象的变化情况，可知方程f（x）=a有3个不同实根，求得实数a的值．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=3(x2-2)，令f′(x)=0，得x1=-

2

，x2=

2

∴当x＜-

2

或x＞

2

时f′(x)＞0，当-

2

＜x＜

2

时，f′(x)＜0，
∴f（x）的单调递增区间是(-∞，-

2

)和(

2

，+∞)，单调递减区间是(-

2

，

2

)
当x=-

2

，f(x)有极大值5+4

2

；当x=

2

，f(x)有极小值5-4

2

（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，
∴当5-4

2

＜a＜5+4

2

时，直线y=a与y=f(x)的图象有3个不同交点，
即方程f（x）=α有三解．

点评：考查利用导数研究函数的单调性和图象，体现了数形结合的思想方法．本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论．属中档题．