Question

19．P是圆x²+y²=1上的动点，作PD⊥y轴，D为垂足，则PD中点的轨迹方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{1}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{1}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{4}}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{1}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{1}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 设出P点坐标为（x₁，y₁），D点坐标为（0，y₁），PD的中点坐标为（x，y），然后由中点坐标公式把P的坐标用PD中点坐标表示，代入圆的方程得答案．

解答 解：设P点坐标为（x₁，y₁），D点坐标为（0，y₁），PD的中点坐标为（x，y），根据题意得：
x₁=2x，y₁=y，
∵点P位于圆上，
∴满足方程x²+y²=1，
即${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=1$，也就是（2x）²+y²=1，
整理得：$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}+\frac{{y}^{2}}{1}=1$．
故选：A．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，考查了代入法，关键是把P的坐标用PD的中点坐标表示，是中档题．