Question

已知抛物线y²=4x，过点M（0，2）的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x交于点C．
（1）求证：|MA|，|MC|、|MB|成等比数列；
（2）设

MA

=α

AC

，

MB

=β

BC

，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设直线l的方程为：y=kx+2，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|MA|，|MC|、|MB|成等比数列，从而解决问题．
（2）由

MA

=α

AC

，

MB

=α

BC

得，(x1，y1-2)=α(-x1-

2

k

，-y1)，(x2，y2-2)=β(-x2-

2

k

，-y2)，从而利用x₁，x₂，及k来表示α，β，最后结合（1）中根系数的关系即得故α+β为定值．

解答：解：（1）设直线l的方程为：y=kx+2（k≠0），
联立方程可得

y=kx+2 y2=4x

得：k²x²+（4k-4）x+4=0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C(-

2

k

，0)，
则x1+x2=-

4k-4

k2

，x1•x2=

4

k2

②|MA|•|MB|=

1+k2

|x1-0|•

1+k2

|x2-0|=

4(1+k2)

k2

，
而|MC|2=(

1+k2

|-

2

k

-0|)2=

4(1+k2)

k2

，
∴|MC|²=|MA|•|MB|≠0，
即|MA|，|MC|、|MB|成等比数列（7分）
（2）由

MA

=α

AC

，

MB

=α

BC

得，(x1，y1-2)=α(-x1-

2

k

，-y1)，(x2，y2-2)=β(-x2-

2

k

，-y2)
即得：α=

-kx1

kx1+2

，β=

-kx2

kx2+2

，
则α+β=

-2k2x1x2-2k(x1+x2)

k2x1x2+2k(x1+x2)+4

由（1）中②代入得α+β=-1，
故α+β为定值且定值为-1（13分）

点评：本小题主要考查等比关系的确定、向量坐标的应用、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．