Question

已知与圆C:x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线交x轴于A点,交y轴于B点,O为原点,|OA|=a,|OB|=b(a＞2,b＞2).

(1)求证:(a-2)(b-2)=2;

(2)求线段AB中点的轨迹方程;

(3)求△AOB的面积的最小值.

Answer 1

(1)证明:直线l的方程为+=1.

∵圆与直线l相切,∴=1,得（a-2)(b-2)=2.

(2)解析:设线段AB中点为M(x,y),∴a=2x,b=2y.

代入(a-2)(b-2)=2得(x-1)(y-1)= (x＞1,y＞1).

(3)解析:ab=2(a+b)-2=2［(a-2)+(b-2)］+6,

S_△AOB=ab=(a-2)+(b-2)+3≥2=2+3.

∴当且仅当a=b=2+时,S_△AOB的最小值为2+3.