Question

已知与圆C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴、y轴于A、B两点，O为坐标原点，且|OA|=a，|OB|=b
（a＞2，b＞2）．
（1）求直线l与圆C相切的条件；
（2）在（1）的条件下，求线段AB的中点轨迹方程；
（3）在（1）的条件下，求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中圆C：x²+y²-2x-2y+1=0，直线交x轴、y轴于A、B两点|OA|=a，|OB|=b，我们设以分别求出直线的一般方程，和圆的标准方程，然后根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径得到结论；
（2）设线段AB的中点M（x，y），代入（1）的结论，整理后，即可得到答案；
（3）S△AOB=

1

2

|ab|，结合（1）的结论，及均值不等式，即可得到答案．

解答：解：设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，圆C的标准方程为（x-1）²+（y-1）²=1，圆心C（1，1），半径r=1．
（1）直线l与圆C相切，则

|b+a-ab|

a2+b2

=1，∴（a-2）（b-2）=2（4分）
（2）设线段AB的中点M（x，y），则x=

a

2

，y=

b

2

，即a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2，得(x-1)(y-1)=

1

2

(x＞1，y＞1)（8分）
（3）S△AOB=

1

2

|ab|=a+b-1=（a-2）+（b-2）+3≥2

(a-2)(b-2)

+3=2

2

+3
当且仅当a=b=2+

2

时，△AOB的面积最小，最小值为2

2

+3

点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，轨迹方程，直线与圆的位置关系，考查的解题方法为坐标法，难度中等．