Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=

3

，ccosB+(2a+b)cosC=0
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简题中的等式可得sin（B+C）+2sinAcosC=0，结合三角函数的诱导公式算出cosC=-

1

2

，可得角C的大小；
（2）由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子，代入数据算出a²+b²=3-ab，运用基本不等式推出ab≤1，再利用三角形的面积公式加以计算，可得△ABC面积的最大值．

解答：解：（1）∵在△ABC中，ccosB+（2a+b）cosC=0，
∴由正弦定理，可得sinCcosB+（2sinA+sinB）cosC=0，
即sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0，所以sin（B+C）+2sinAcosC=0，
∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0，
∴sinA+2sinAcosC=0，即sinA（1+2cosC）=0，可得cosC=-

1

2

．
又∵C是三角形的内角，∴C=

2π

3

；
（2）根据余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC，
∵c=

3

，cosC=-

1

2

，
∴3=a²+b²-2ab×（-

1

2

），整理得a²+b²=3-ab，
又∵a²+b²≥2ab，∴3-ab≥2ab，可得ab≤1，
由此可得：△ABC的面积S=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

4

×1=

3

4

，
∴当且仅当a=b=1时，△ABC面积的最大值为

3

4

．

点评：本题给出三角形的一边长与边角关系式，求角C的大小并依此求三角形面积的最大值．着重考查了正余弦定理、两角和的正弦公式、基本不等式与三角形的面积公式等知识，属于中档题．