Question

等差数列{a_n}中，前三项分别为x，2x，5x-4，前n项和为S_n，且S_k=72．
（1）求x和k的值；
（2）求T_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列{a_n}中，前三项分别为x，2x，5x-4建立方程，求出x，然后求出前n项和为S_n，最后根据S_k=72可求出k的值；
（2）根据

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和法可求出T_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

的值．

解答：解：（1）由4x=x+5x-4得x=2，…（3分）
∴a_n=2n，S_n=n（n+1），
∵S_k=72
∴k（k+1）=72得k=8．…（6分）
（2）∵S_n=n（n+1），∴

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．…（9分）
∴T=1-

1

2

+

1

3

-

1

3

+

1

4

…

1

n-1

+

1

n

-

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（12分）

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和求和，以及利用裂项求和法求数列的和，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．