Question

用[x]表示不超过x的最大整数，如[3.1]=3，[-3.4]=-4，[0]=0，设函数f（x）=[x]-x（x∈R），关于函数f（x）有如下四个命题：
①f（x）的值域为[0，1）
②f（x）是偶函数  
③f（x）是周期函数，最小正周期为1  
④f（x）是增函数．
其中正确命题的序号是：

③

．

Answer 1

分析：①可求出函数f（x）的取值范围，即值域，可判断①错误．
②利用偶函数的定义，可以判断②错误．
③根据周期函数的定义，可验证函数{x}是周期为1的函数，从而可判③正确．
④由③可知函数是周期函数，所以在定义域上函数不单调，所以可以判断④错误．

解答：解：①函数{x}的定义域是R，但是-1＜[x]-x≤0，故函数{x}的值域为（-1，0]故①错误．
②因为f（-0.1）=[-0.1]-（-0.1）=-1+0.1=-0.9，而f（0.1）=[0.1]-0.1=0-0.1=-0.1，
所以f（-0.1）≠f（0.1），所以函数不是偶函数，所以②错误．
③因为f（x+1）=[x+1]-（x+1）=[x]+1-x-1=[x]-x=f（x），所以f（x）是周期函数，最小正周期为1，所以③正确．
④由③可知函数是周期函数，所以在定义域上函数不单调，所以④错误．
故答案为：③．

点评：本题主要考查函数的基本性质--定义域、值域、单调性、周期性．考查对基础知识的掌握程度和灵活运用．