题目内容

若a＞0，a≠1，F（x）是偶函数，则G（x）=F（x）•loga(x+
x2+1
)的图象是（　　）
A、关于x轴对称
B、关于y轴对称
C、关于原点对称
D、关于直线y=x对称
分析：构造函数令H（x）=loga(x+
x2+1
)，，利用奇偶性的定义验证G（-x）与G（x）的关系，从而判断函数G（x）的奇偶性，进而判断函数图象的对称性
解答：解：令H（x）=loga(x+
x2+1
)，则有H（-x）=loga (-x+
(-x)2+1
)=loga 
1
x+
1+x2
=- H(x)
∵F（x）是偶函数，∴F（-x）=F（x）
∴G（-x）=F（-x）•H（-x）=-F（x）•H（x）=-G（x）
所以函数G（x）为奇函数，由奇函数的性质可得图象关于原点对称
故选C
点评：本题主要考查了函数的奇偶性的判断，对数的基本运算，及奇偶函数的图象的对称性的应用，属于基础试题．
练习册系列答案
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（2013•普陀区二模）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x+1），g(x)=loga
11-x
，记F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；
（2）若关于x的方程F（x）-m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=ax+k（a＞0且a≠1）的图象过点（-1，1），其反函数f-1（x）的图象过点（8，2）．（1）求a，k的值
（2）若将y=f-1（x）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到函数y=g（x）的图象，写出y=g（x）的解析式
（3）若函数F（x）=g（x2）-f-1（x），求F（x）的最小值及取得最小值时x的值．
（2011•嘉定区三模）已知k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，函数f（x）=ax+k•bx．
（1）如果实数a、b满足a＞1，ab=1，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）设a＞1＞b＞0，k≤0，判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）若a=2，b=
12
，且k＞0，问函数f（x）的图象是不是轴对称图形？如果是，求出函数f（x）图象的对称轴；如果不是，请说明理由．
若a＞0，a≠1，F（x）为偶函数，则G（x）=F（x）•loga（x+
x2+1
）是
 
函数（填“奇”或“偶”），它的图象关于
 
对称．

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