题目内容
已知函数f（x）=sin（x-
）+
cos（x-
）．（1）求f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；
（2）设函数g（x）=（1+sinx）f（x），求g（x）的值域．
【答案】分析：（1）由两角和的正弦公式化简解析式，再由正弦函数的单调性求出f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；
（2）由（1）求出的f（x）代入g（x）化简后，设t=sinx并求出t的范围，代入解析式进行配方，再由二次函数的性质求出函数的最值，再用区间表示出g（x）的值域．
解答：解：（1）由题意得，f（x）=2[
sin（x-
）+
cos（x-
）]
=2sin（x-
+
）=2sinx，
∴f（x）在[0，2π]上的单调递增区间是：
，
；
（2）由（1）得，g（x）=2sinx（1+sinx）=2sinx+2sin2x
设t=sinx，则t∈[-1，1]，
∴h（t）=2t2+2t=
，
当t=
时，函数取到最小值是：
，
当t=1时，函数取到最大值是：4，
则g（x）的值域是[
，4]．
点评：本题考查了两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，二次函数的性质，以及换元法求函数的最值问题．
（2）由（1）求出的f（x）代入g（x）化简后，设t=sinx并求出t的范围，代入解析式进行配方，再由二次函数的性质求出函数的最值，再用区间表示出g（x）的值域．
解答：解：（1）由题意得，f（x）=2[
sin（x-）+cos（x-）]=2sin（x-
+）=2sinx，∴f（x）在[0，2π]上的单调递增区间是：
，；（2）由（1）得，g（x）=2sinx（1+sinx）=2sinx+2sin2x
设t=sinx，则t∈[-1，1]，
∴h（t）=2t2+2t=
，当t=
时，函数取到最小值是：，当t=1时，函数取到最大值是：4，
则g（x）的值域是[
，4]．点评：本题考查了两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，二次函数的性质，以及换元法求函数的最值问题．
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