Question

设函数f(x)=

3

sin2x+2cos2x+2．
（I）求f（x）的最小正周期和值域；
（II）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）先降幂扩角，再利用辅助角公式，化简函数，即可求得f（x）的最小正周期和值域；
（II）利用正弦函数的单调增区间，整体思维，即2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，从而可得结论．

解答：解：（I）∵f（x）=

3

sin2x+2cos2x+2=

3

sin2x+cos2x+3=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+3
=2(cos

π

6

sin2x+sin

π

6

cos2x)=2sin(2x+

π

6

)+3…（4分）
∴f（x）最小正周期为T=π，…（6分）
∵当x=2kπ+

π

2

，k∈z时，f（x）有最大值5
当x=2kπ-

π

2

，k∈z时，f（x）有最小值1                    …（8分）
∴f（x）的值域为[1，5]…（9分）
（II）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z
得2kπ-

2π

3

≤2x≤2kπ+

π

3

kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

…（12分）
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．…（13分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查函数的性质，正确化简函数，整体思维是关键．