Question

（平）已知函数f（x）=ax²+2ln（1-x）（a∈R）．
（1）若f（x）在x=-1处有极值，求a的值；
（2）若f（x）在[-3，-2）上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）是否存在正实数a，使得f（x）的导函数f′（x）满足，若存在，求出a的值，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=ax²+2ln（1-x），知，由f（x）在x=-1处有极值，知=0，由此能求出a．
（2）求出函数的导数，利用导数在[-3，-2）恒为正，通过二次函数的最值，即可求出实数a的取值范围．
（3）假设存在正实数a，使得f（x）的导函数f′（x）有最大值1-2，直接求出a的值．
解答：解：（1）∵f（x）=ax²+2ln（1-x），
∴1-x＞0，即x＜1，
，
∵f（x）在x=-1处有极值，
∴=0，
解得a=-．
（2）∵f（x）在[-3，-2）上是增函数，
∴≥0对一切x∈[-3，-2）恒成立，
∴a≤=，
当x∈[-3，-2）时，-＜-6，
∴＞-．故a≤-．
（3）假设存在正数a，使得成立，
=2a-[2a（1-x）+]≤，
由2a（1-x）=，得（1-x）²=，
∴x=1±，
由于x=1+＞1，故应舍去，
当x=1-时，，
令2a-2=1-2，解得a=，或a=．
点评：本题只要考查求函数的导数以及函数的最值问题，体现转化的数学思想，特别注意新变量的取值范围，同时也考查了二次函数在定区间上的最值问题，恒成立问题，属中档题．