Question

（2009•天门模拟）已知命题：
①函数f（x）=

1

lgx

在（0，+∞）上是减函数；
②已知

a

=（3，4），

b

=（0，-1），则

a

在

b

方向上的投影为-4；
③函数f（x）=2sinxcos|x|的最小正周期为π；
④函数f（x）的定义域为R，则f（x）是奇函数的充要条件是f（0）=0；
⑤在平面上，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y-10的距离相等的点的轨迹是抛物线．
其中，正确命题的序号是

②③

．（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析：①利用复合函数的单调性和对数函数的性质进行判断．②利用向量投影的概念判断．③利用三角函数的周期性判断．
④利用函数奇偶性的定义和性质判断．⑤利用抛物线的定义判断．

解答：解：①当x=1时，lgx=0，此时函数f（x）无意义，所以①错误．
②向量

a

在

b

方向上的投影为

a ? b

| b |

=-4，所以②正确．
③因为y=cos|x|=cosx，所以f（x）=2sinxcos|x|=2sinxcosx=sin2x，所以函数的周期T=

2π

2

=π，所以③正确．
④若f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），所以当x=0时，f（-0）=-f（0），所以f（0）=0．但若f（0）=0，则f（x）不一定是奇函数，
比如f（x）=x²，满足f（0）=0，但函数f（x）=x²，是偶函数，所以④错误．
⑤因为点（2，1）在直线3x+4y-10=0上，所以所求的轨迹不是抛物线，所以⑤错误．
故答案为：②③．

点评：本题主要考查了各种命题的真假判断，综合性较强．