Question

已知圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，母线长为l，试证明：
①圆台的侧面积公式为：S_{圆台侧面积}=π（r+R）l；
②表面积公式为：S=π（R²+r²+Rl+rl）．

Answer 1

分析：把圆台还原成圆锥，并作出轴截面，设AB=x，BC=l，利用三角形相似可用R，r，l表示出x，根据S_圆台侧=S_扇形ACD-S_扇形ABE可证明出圆台的侧面积公式，加上两个底面面积后，可证得圆台的表面积公式．

解答：证明：把圆台还原成圆锥，并作出轴截面，如下图：
设AB=x，BC=l，
∵△ABF∽△ACG．
∴

r

R

=

x

x+l

，∴x=

rl

R-r

．
∴S_圆台侧=S_扇形ACD-S_扇形ABE
=

1

2

•2πR（x+l）-

1

2

•2πr•x
=πRl+π（R-r）•

rl

R-r

=π（R+r）l
∴S_{圆台表面积}=π（R+r）l+πR²+πr²
=π（Rl+rl+R²+r²）．

点评：本题考查的知识点是圆锥的侧面积和圆台的侧面积，熟练掌握扇形面积公式是解答本题的关键．