题目内容
已知抛物线 x2=4y的焦点是椭圆 C：
+
=1(a＞b＞0)一个顶点，椭圆C的离心率为
．另有一圆O圆心在坐标原点，半径为
（I）求椭圆C和圆O的方程；
（Ⅱ）已知过点P（0，
）的直线l与椭圆C在第一象限内只有一个公共点，求直线l被圆O截得的弦长；
（Ⅲ）已知M（x0，y0）是圆O上任意一点，过M点作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，求证：l1⊥l2．
| x2 |
| n2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| a2+b2 |
（I）求椭圆C和圆O的方程；
（Ⅱ）已知过点P（0，
| a2+b2 |
（Ⅲ）已知M（x0，y0）是圆O上任意一点，过M点作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，求证：l1⊥l2．
（I）由x2=4y可得抛物线焦点坐标为（0，1），∴b=1，
又∵e=
，∴
=
，∵a2=b2+c2，∴a2=4，
∴
=
，
∴椭圆C的方程为
+y2=1，圆O的方程为x2+y2=5．
（Ⅱ）∵过点P（0，
）的直线l与椭圆C在第一象限内只有一个公共点，
∴直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+
，k＜0
由
，得x2+4(kx+
)2=4，
即（1+4k2）x2+8
kx+16=0，
则△=(8
k)2-64(1+4k2)=0，
∴k2=1，又k＜0，k=-1，
∴直线l方程为y=-x+
，
圆心O到直线l方程为y=-x+
，
圆心O到直线l的距离d=
=
，
∴直线l被圆O截得的弦长为2
=
．
（Ⅲ）证明：若点M的坐标为（2，1），（2，-1），（-2，-1），（-2，1），
则过这四点分别作满足条件的直线l1，l2，
若一条直线斜率为0，则另一条斜率不存在，则l1⊥l2
若直线l1，l2斜率都存在，则设过M与椭圆只有一个公共点的直线方程为y-y0=k（x-x0），
由
，得x2+4[kx+（y0-kx0）]2=4，
即（1+4k2）x2+8k（y0-kx0）•x+4（y0-kx0）2-4=0，
则△=[8k（y0-kx0）]2-4（1+4k2）[4（y0-kx0）2-4]=0，
化简得（4-x02）k2+2x0y0k+1-y02=0，
∵x02+y02=5，
∴（4-x02）k2+2x0yk+x02-4=0，
设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，
所以k1，k2满足（4-x02）k2+2x0yk+x02-4=0，
∴k1•k2=
=-1，
∴l1⊥l2．
又∵e=
| ||
| 2 |
| c2 |
| a2 |
| 3 |
| 4 |
∴
| a2+b2 |
| 5 |
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
（Ⅱ）∵过点P（0，
| 5 |
∴直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+
| 5 |
由
|
| 5 |
即（1+4k2）x2+8
| 5 |
则△=(8
| 5 |
∴k2=1，又k＜0，k=-1，
∴直线l方程为y=-x+
| 5 |
圆心O到直线l方程为y=-x+
| 5 |
圆心O到直线l的距离d=
| ||
|
| ||
| 2 |
∴直线l被圆O截得的弦长为2
5-(
|
| 10 |
（Ⅲ）证明：若点M的坐标为（2，1），（2，-1），（-2，-1），（-2，1），
则过这四点分别作满足条件的直线l1，l2，
若一条直线斜率为0，则另一条斜率不存在，则l1⊥l2
若直线l1，l2斜率都存在，则设过M与椭圆只有一个公共点的直线方程为y-y0=k（x-x0），
由
|
即（1+4k2）x2+8k（y0-kx0）•x+4（y0-kx0）2-4=0，
则△=[8k（y0-kx0）]2-4（1+4k2）[4（y0-kx0）2-4]=0，
化简得（4-x02）k2+2x0y0k+1-y02=0，
∵x02+y02=5，
∴（4-x02）k2+2x0yk+x02-4=0，
设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，
所以k1，k2满足（4-x02）k2+2x0yk+x02-4=0，
∴k1•k2=
| x02-4 |
| 4-x02 |
∴l1⊥l2．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线x2+my=0上的点到定点（0，4）和到定直线y=-4的距离相等，则m=（ ）
A、
| ||
B、-
| ||
| C、16 | ||
| D、-16 |
如图，已知抛物线y=4-x2与直线y=3x的两个交点分别为A、B，点P在抛物线上从A向B运动（点P不同于点A、B），