Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，AB=BC=CA=4，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．

（Ⅰ）求侧棱AA₁与底面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求顶点C到侧面A₁ABB₁的距离．

Answer 1

同下

解析:

解：（Ⅰ）作A₁O⊥AC，垂足为O，            ………1分

∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∴ A₁O⊥面ABC，            ……2分

∴∠A₁AO为A₁A与面ABC所成的角．       ……3分

∵AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，∴∠A₁AO=45°为所求．                   ……4分

（Ⅱ）以OB为x轴，OC为y轴，O A₁为z轴建立空间直角坐标系，如图， 

则，，，．…5分

设是面A₁ACC₁的法向量，则，，

∵，，           

∴，可取．                ……7分

而面ABC的法向量为，∵，…8分

∴侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角为．     ……9分

（Ⅲ）∵，∴在平面A₁ACC₁的法向量上的射影为

，           …………11分

∴点C到侧面A₁ABB₁的距离为．    ………12分