题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有an＞0，
．（1）求a1，a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式an；
（3）证明：a2n+1n≥a2nn+a2n-1n．
【答案】分析：（1）由题意可知
，
，将a1=1代入上式可得a2=2．
（2）由
，得a13+a23++an3=（a1+a2++an）2解得an+12-an2=an+1+an．
所以an+1-an=1．由此能够导出an=n．
（3）由于（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2+Cn3x3+，（1-x）n=Cn-Cn1x+Cn2x2-Cn3x3+，所以（1+x）n-（1-x）n-2nx=2Cn3x3+2Cn5x5+．再由分析法可知原不等式成立．
解答：（1）解：当n=1时，有
，
由于an＞0，所以a1=1．
当n=2时，有
，即
，
将a1=1代入上式，由于an＞0，所以a2=2．
（2）解：由
，
得a13+a23++an3=（a1+a2++an）2，①
则有a13+a23++an3+an+13=（a1+a2++an+an+1）2．②
②-①，得an+13=（a1+a2++an+an+1）2-（a1+a2++an）2，
由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2++an）+an+1．③
同样有an2=2（a1+a2++an-1）+an（n≥2），④
③-④，得an+12-an2=an+1+an．
所以an+1-an=1．
由于a2-a1=1，即当n≥1时都有an+1-an=1，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
故an=n．
（3）证明1：由于（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2+Cn3x3+，（1-x）n=Cn-Cn1x+Cn2x2-Cn3x3+，
所以（1+x）n-（1-x）n=2Cn1x+2Cn3x3+2Cn5x5+．
即（1+x）n-（1-x）n-2nx=2Cn3x3+2Cn5x5+．
令
，则有
．
即
，
即（2n+1）n≥（2n）n+（2n-1）n
故a2n+1n≥a2nn+a2n-1n．
证明2：要证a2n+1n≥a2nn+a2n-1n，
只需证（2n+1）n≥（2n）n+（2n-1）n，
只需证
，
只需证
．
由于
=
=
=
．
因此原不等式成立．
点评：本小题主要考查数列、不等式、二项式定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识．
，
，将a1=1代入上式可得a2=2．（2）由
，得a13+a23++an3=（a1+a2++an）2解得an+12-an2=an+1+an．所以an+1-an=1．由此能够导出an=n．
（3）由于（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2+Cn3x3+，（1-x）n=Cn-Cn1x+Cn2x2-Cn3x3+，所以（1+x）n-（1-x）n-2nx=2Cn3x3+2Cn5x5+．再由分析法可知原不等式成立．
解答：（1）解：当n=1时，有
，由于an＞0，所以a1=1．
当n=2时，有
，即
，将a1=1代入上式，由于an＞0，所以a2=2．
（2）解：由
，得a13+a23++an3=（a1+a2++an）2，①
则有a13+a23++an3+an+13=（a1+a2++an+an+1）2．②
②-①，得an+13=（a1+a2++an+an+1）2-（a1+a2++an）2，
由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2++an）+an+1．③
同样有an2=2（a1+a2++an-1）+an（n≥2），④
③-④，得an+12-an2=an+1+an．
所以an+1-an=1．
由于a2-a1=1，即当n≥1时都有an+1-an=1，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
故an=n．
（3）证明1：由于（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2+Cn3x3+，（1-x）n=Cn-Cn1x+Cn2x2-Cn3x3+，
所以（1+x）n-（1-x）n=2Cn1x+2Cn3x3+2Cn5x5+．
即（1+x）n-（1-x）n-2nx=2Cn3x3+2Cn5x5+．
令
，则有
．即
，即（2n+1）n≥（2n）n+（2n-1）n
故a2n+1n≥a2nn+a2n-1n．
证明2：要证a2n+1n≥a2nn+a2n-1n，
只需证（2n+1）n≥（2n）n+（2n-1）n，
只需证
，只需证
．由于
=
=
=
．因此原不等式成立．
点评：本小题主要考查数列、不等式、二项式定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识．
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