Question

已知直线a不垂直于平面α(如图所示)，求证：过a有且只有一个平面与α垂直．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：(1)设A∈a，过A作b⊥α．a∩b=Aa、b确定一个平面，记作β． ． (2)假设过a不只一个平面垂直于α，可设β以外还有平面γ⊥α． ． 这与a不垂直于α矛盾．从而假设不成立，所以只有一个平面垂直于α． 于是，由(1)、(2)可知原命题成立．

提示：

这是一个唯一性命题，其证明可分两步进行：先证存在性，即过a有一个平面与α垂直；再证唯一性，用直接证明“只有一个”不好下手，我们用反证法，假设还有一个平面垂直于α，去寻找矛盾．