Question

函数f（x）=2sin（ωx+φ）(ω＞0，0＜φ＜

π

2

)的部分图象如图所示，该图象与y轴交于点F(0，

2

)，与x轴交于点B，C，M为最高点，且△MBC的面积为π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f(α-

π

4

)=

2 5

5

，α∈(0，

π

2

)，求cos(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）由S_△MBC=π可求得BC=

1

2

T=π，从而可求得ω，再由f（0）=

2

可求得φ，从而可得函数f（x）的解析式；
（2）依题意，可求得sinα与cosα，从而可得sin2α与cos2α，于是可求cos（2α+

π

4

）．

解答：解：（1）∵S_△MBC=

1

2

×2×BC=BC=π，
∴周期T=2π=

2π

ω

，ω=1．
由f（0）=2sinφ=

2

，得sinφ=

2

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

4

．
∴f（x）=2sin（x+

π

4

）．
（2）由f（α-

π

4

）=2sinα=

2 5

5

，得sinα=

5

5

，
∵α∈（0，π），
∴cosα=

1-sin2α

=

2 5

5

，
∴cos2α=2cos²α-1=

3

5

，sin2α=2sinαcosα=

4

5

，
∴cos（2α+

π

4

）
=cos2αcos

π

4

-sin2αsin

π

4

=

3

5

×

2

2

-

4

5

×

2

2

=-

2

10

．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数间的基本关系与两角和与差的余弦函数，属于中档题．