题目内容
已知函数f（x）=2sinωxcosωx-2
sin2ωx+
（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为
．
（I）求ω的值；
（II）求函数f（x）的单调增区间；
（III）若f（a）=
，求sin（
π-4a）的值．
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| π |
| 2 |
（I）求ω的值；
（II）求函数f（x）的单调增区间；
（III）若f（a）=
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分析：（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为
，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；
（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；
（III）由f（a）=
，可得sin（2a+
）=
，根据sin（
π-4a）=sin[
-2（2a+
）]=-cos[2（2a+
）]=2sin2（2a+
）-1，即可求得结论．
| π |
| 2 |
（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；
（III）由f（a）=
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| π |
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| 1 |
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| 3π |
| 2 |
| π |
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| π |
| 3 |
| π |
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解答：解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx-2
sin2ωx+
=sin2ωx+
cos2ωx=2sin（2ωx+
）
∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为
，
∴函数的最小正周期为π
∴
=π
∴ω=1；
（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+
）
∴-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ，k∈Z
∴-
+kπ≤x≤
+kπ，k∈Z
∴函数f（x）的单调增区间为[-
+kπ，
+kπ]，k∈Z；
（III）∵f（a）=
，∴sin（2a+
）=
∴sin（
π-4a）=sin[
-2（2a+
）]=-cos[2（2a+
）]=2sin2（2a+
）-1=-
．
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| π |
| 3 |
∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为
| π |
| 2 |
∴函数的最小正周期为π
∴
| 2π |
| 2ω |
∴ω=1；
（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+
| π |
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∴-
| π |
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| π |
| 3 |
| π |
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∴-
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| π |
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∴函数f（x）的单调增区间为[-
| 5π |
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| π |
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（III）∵f（a）=
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| π |
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∴sin（
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| π |
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点评：本题考查函数的周期性，考查函数解析式的确定，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，周期确定函数解析式是关键．
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