Question

1．设双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左右焦点为F₁，F₂．点P（6，6）为双曲线内部的一点，点M是双曲线右支上的一点，求|MP|+$\frac{1}{2}$|MF₂|的最小值．

Answer 1

分析 设过M作准线的垂线MN，垂足为N，欲求|MP|+$\frac{1}{2}$|MF₂|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值．

解答 解∵双曲线方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∴a=1，b=$\sqrt{3}$，c=2，
可得离心率e=2，
设过M作准线的垂线MN，垂足为N，则$\frac{|M{F}_{2}|}{|MN|}$=2，
∴|MN|=$\frac{1}{2}$|MF₂|，
∴|MP|+$\frac{1}{2}$|MF₂|=|MP|+|MN|，
当且仅当M，N，P三点共线时|MP|+$\frac{1}{2}$|MF|的值最小，这个最小值为6-$\frac{1}{2}$=5$\frac{1}{2}$．

点评 本题给出双曲线上的动点P和定点，求|MP|+$\frac{1}{2}$|MF₂|的最小值，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、圆锥曲线的统一定义等知识，属于中档题．