Question

如图：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M，N分别是A₁B和B₁D₁的中点．
（1）求证：MN⊥AB
（2）求异面直线A₁N与CM所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的性质证明．（2）利用异面直线所成角的定义或利用空间向量求夹角．

解答：解：（1）取A₁B₁的中点H，连结HN，MN，则HM∥BB₁，HN∥A₁D₁，
在正方体中，AB⊥BB₁，AB⊥A₁D₁，
所以AB⊥HM AB⊥HN，因为HM∩HN=H，
所以AB⊥面HNM，
因为MN?面HNM，
所以AB⊥MN，
即MN⊥AB．
（2）以D点为坐标原点，以DA，DC，DD₁，分别为x，y，z轴，建立空间坐标系，
则A₁（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁ （0，0，1），B₁ （1，1，1）．
因为M，N分别是A₁B和B₁D₁的中点，
所以M（1，

1

2

，

1

2

），N（

1

2

，

1

2

，1）．
则

A1N

=(-

1

2

，

1

2

，0)，

CM

=(1，-

1

2

，

1

2

)，
则

A1N

?

CM

=(-

1

2

，

1

2

，0)?(1，-

1

2

，

1

2

)=-

1

2

-

1

4

=-

3

4

，
即

A1N

?

MC

=

3

4

，
所以|

A1N

|=

( 1 2 )2+( 1 2 )2

=

2

2

，|

MC

|=

1+( 1 2 )2+( 1 2 )2

=

6

2

，
所以cos＜

A1N

，

MC

＞=

3 4

2 2 × 6 2

=

3

2

．
即异面直线A₁N与CM所成角的余弦值为

3

2

．

点评：本题主要考查线面垂直的性质以及异面直线所成角的求法，要求熟练掌握．