Question

一片小树林有4 000棵树,每年将砍伐20%的树木并种植1 000棵树,设n年后所剩树木的棵树为a_n,

(1)计算a₁、a₂、a₃的值;

(2)请猜想数列{a_n}的通项公式,并加以证明;

(3)试判断经过若干年后,树木的棵数能否大体稳定在某一固定值上?并说明理由.

Answer 1

分析:本题考查阅读材料的能力,以及观察、分析、归纳、发现规律的能力,考查数学归纳法在等式证明中的应用及数列的极限.

解:(1)a₁=4 000(1-20%)+1 000=4 000×0.8+1 000=4 200,

a₂=(4 000×0.8+1 000)×0.8+1 000=4 000×0.8²+1 000×0.8+1 000=4 360,

a₃=4 000×0.8³+1 000×0.8²+1 000×0.8+1 000=4 488.

(2)由(1)猜想,a_n=4 000×0.8ⁿ+1 000×.

下面用数学归纳法进行证明.

1°当n=1时,显然成立.

2°假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即a_k=4 000×0.8^k+1 000×,

那么a_k+1=0.8a_k+1 000

=0.8(4 000×0.8^k+1 000×)+1 000

=4 000×0.8^k+1+1 000()

=4 000×0.8^k+1+1 000×,

即n=k+1时命题成立.

由1°、2°可知,该命题对任意x∈N*都成立.

(3)∵a_n=5 000,

∴经过若干年后,树木的棵数能大体稳定在5 000棵.

点评：观察——归纳——猜想——证明,并考查数列的求和与极限的运算是常见题型.用观察法求通项公式时,主要观察项与项数的关系,为此,可把项分解成变化的部分和不变的部分,只需观察变化的部分同项数的关系即可.