Question

已知点P（x，y）在不等式组

2x+y≥4 x-y≥0 x-2y≤2

所确定的平面区域内，则

y

x-1

的取值范围为

[0，4]

．

Answer 1

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分．设P（1，0），点Q（x，y）是区域内的动点，可得k=

y

x-1

，表示直线PQ的斜率，再将点Q移动，观察倾斜角的变化即可得到k的最大、最小值，从而得到

y

x-1

的取值范围．

解答：解：设直线y=x与直线x-2y-2=0交于点A，直线2x+y-4=0与直线x-2y-2=0交于点B，
直线y=x与直线2x+y-4=0交于点C，
可得A（-2，-2），B（2，0），C（

4

3

，

4

3

）
不等式组

2x+y≥4 x-y≥0 x-2y≤2

表示的平面区域为直线AB上方、直线AC下方，
且在直线BC右侧的部分，如图所示．
设P（1，0），点Q（x，y）是区域内的动点
可得k=

y

x-1

，表示直线PQ的斜率，运动点Q，可得
当Q与C重合时，k=

4 3

4 3 -1

=4，此时k达到最大值；当Q在与点B重合时，k=

0

2-1

=0，此时k达到最小值．
因此，

y

x-1

的取值范围为[0，4]
故答案为：[0，4]

点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数

y

x-1

的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．