题目内容

已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得 $数学公式$ =4a₁，则 $数学公式$ 的最小值为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
不存在

A
分析：把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出m，n之间的关系，用基本不等式得到最小值．
解答：∵a₇=a₆+2a₅，
∴a₅q²=a₅q+2a₅，
∴q²-q-2=0，
∴q=2，
∵存在两项a_m，a_n使得 $\text{[math]}$ =4a₁，
∴a_ma_n=16a₁²，
∴q^m+n-2=16，
∴m+n=6
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （m+n）（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
故选A
点评：本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．