Question

已知点P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，xy≠0)上的动点，F₁（-c，0）、F₂（c，0）为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F₁PF₂的角平分线上的一点，且F₁M⊥MP，则|OM|的取值范围是（　　）

A．（0，c）

B．（0，a）

C．（b，a）

D．（c，a）

Answer 1

分析：利用M是∠F₁PF₂平分线上的一点，且F₁M⊥MP，判断OM是三角形F₁F₂N的中位线，把OM用PF₁，PF₂表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出OM的范围．

解答：解：如图，延长PF₂，F₁M，交与N点，∵PM是∠F₁PF₂平分线，且F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M为F₁F₂中点，
连接OM，∵O为F₁F₂中点，M为F₁N中点
∴|OM|=

1

2

|F₂N|=

1

2

||PN|-|PF₂||=

1

2

||PF₁|-|PF₂||
∵在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，xy≠0)中，设P点坐标为（x₀，y₀）
则|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex₀-a+ex₀|=|2ex₀|=|x₀|
∵P点在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，xy≠0)上，
∴|x₀|∈（0，a]，
又∵当|x₀|=a时，F₁M⊥MP不成立，∴|x₀|∈（0，a）
∴|OM|∈（0，c）．
故选A．

点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．