题目内容

是否存在常数 c，使得不等式对任意正数 x,y恒成立？

解析：令x=y得，故猜想c=,下证不等式恒成立。

要证不等式，因为x,y是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即证,即2xy≤，而此不等式恒成立，同理不等式也成立，故存在c=使原不等式恒成立。

练习册系列答案
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定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；
②当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．试解答下列问题：
（1）设c＞2，方程f（x）=2的根由小到大依次记为a1，a2，a3，…，an，…，试证明：数列a2n-1+a2n为等比数列；
（2）①是否存在常数c，使函数的所有极大值点均落在同一条直线上？若存在，试求出c的所有取值并写出直线方程；若不存在，试说明理由；②是否存在常数c，使函数的所有极大值点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上？若存在，试求出c的所有取值并写出抛物线方程；若不存在，试说明理由．
设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，是否存在常数c，使数列{Sn+c}也成等比数列？若存在，求出常数c；若不存在，请说明理由．
已知数列{an}满足
an+1+an-3
an+1-an+3
=n，且a2=10，
（1）求a1、a3、a4；
（2）猜想数列{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明；
（3）是否存在常数c，使数列{
an
n+c
}成等差数列？若存在，请求出c的值；若不存在，请说明理由．
设f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
， g(n)=lnn  (n∈N*)．
（1）设an=f（n）-g（n），求a1，a2，a3，并证明{an}为递减数列；
（2）是否存在常数c，使f（n）-g（n）＞c对n∈N*恒成立？若存在，试找出c的一个值，并证明；若不存在，说明理由．
已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+5n，在数列{bn}中，b1=8且64bn+1-bn=0，是否存在常数c，使对任意的正整数n，an+logcbn恒为常数m，若存在，求常数c和m的值，若不存在，说明理由．

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