Question

设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，是否存在常数c，使数列{S_n+c}也成等比数列？若存在，求出常数c；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：假设存在常数c，使数列{S_n+c}也成等比数列，由数列{S_n+c}成等比数列得到关于S_n的递推式，分q=1和q≠1写出等比数列的前n项和，代入整理后求解C的值．

解答：解：设存在常数 C，使数列{S_n+c}成等比数列．
∵(Sn+c)(Sn+2+c)=(Sn+1+c)2，
∴Sn•Sn+2-Sn+12=c(2Sn+1-Sn-Sn+2)．
①当q=1时，S_n=na₁，
代入上式得a12n(n+2)-a12(n+1)2=ca₁[2（n+1）-n-（n+2）]．
即a12=0．
但a₁≠0，于是不存在常数c，使{S_n+c}成等比数列；
②当q≠1时，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，
代 入 上 式 得

-a12qn

(1-q)2

(1-q)2=

ca1qn

1-q

(1-q)2．
∴c=

a1

q-1

．
综上可知，存在常数c=

a1

q-1

，使成等比数列．

点评：本题考查了等比数列的性质，考查了数列的递推式及等比数列的前n项和公式，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了运算能力，是中档题．