Question

设f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

， g(n)=lnn  (n∈N*)．
（1）设a_n=f（n）-g（n），求a₁，a₂，a₃，并证明{a_n}为递减数列；
（2）是否存在常数c，使f（n）-g（n）＞c对n∈N^*恒成立？若存在，试找出c的一个值，并证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由“an=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

-lnn”，可得到a₁，a₂，a₃，再由通项公式求得a_n+1-a_n，再判断它与0的大小，从而判断是否为递减的等差数列．
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在常数c，使f（n）-g（n）＞c对n∈N^*恒成立，再利用ln（1+x）＜x对x＞0恒成立，通过取x=

1

n-1

(n≥2)即可得到证明，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）an=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

-lnn．
由此a₁=1．  a2=

3

2

-ln2，a3=

11

6

-ln3．
又an+1-an=lnn-ln(n+1)+

1

n+1

=ln(1-

1

n+1

)+

1

n+1

．
构造函数h（x）=ln（1-x）+x．x∈（0，1）
由h′(x)=1-

1

1-x

=-

x

1-x

＜0
知h（x）在[0，1）上为单减函数．
从而当x＞0时，h（x）＜h（0）=0
取x=

1

n+1

∈(0，1)．有h(

1

n+1

)＜0
即a_n+1-a_n＜0
故{a_n}为递减数列．
（2）存在如C=0等，下证1+

1

2

+…+

1

3

+…+

1

n

＞lnn(n∈N*)
注意到lnn=ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

．
这只要证

1

n-1

＞ln

n

n-1

=ln(1+

1

n-1

)(n≥2)即可．
∵ln（1+x）＜x对x＞0恒成立，
∴取x=

1

n-1

(n≥2)即可得上式成立．
从而1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

-lnn＞0
此时常数c=0．

点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了数列的定义，通项，不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．