Question

已知函数f（x）=x²-2a（-1）^k lnx（k∈N^*，a∈R且a＞0），
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若k=2014时，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值；
（3）当k=2013时，证明：对一切x＞0∈（0，+∞），都有f（x）-x²＞2a（

1

ex

-

2

ex

）成立．

Answer 1

分析：（1）对k分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调性；
（2）构造g（x）=f（x）-2ax，方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解，求导数，确定函数的单调性，即可求得结论；
（3）当k=2013时，问题等价于证明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，由导数可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，当且仅当x=

1

e

时取到，由此可得结论．

解答：（1）解：由已知得x＞0且f(x)=2x-(-1)k•

2a

x

．
当k是奇数时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k是偶数时，则f′(x)=

2(x+ a )(x- a )

x

．
所以当x∈（0，

a

）时，f′（x）＜0，当x∈（

a

，+∞）时，f′（x）＞0．
故当k是偶数时，f （x）在（0，

a

）上是减函数，在（

a

，+∞）上是增函数．…（4分）
（2）解：若k=2014，则f（x）=x²-2alnx．
记g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，∴g′(x)=

2

x

(x2-ax-a)，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；    
令g′（x）=0，得x²-ax-a=0．
因为a＞0，x＞0，所以x1=

a- a2+4a

2

＜0（舍去），x2=

a+ a2+4a

2

．  
当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）是单调递减函数；
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是单调递增函数．
当x=x₂时，g′（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂）．    
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
则

x22-2alnx2-2ax2=0 x22-ax2-a=0

 
设函数h（x）=2lnx+x-1，
因为在x＞0时，h （x）是增函数，所以h （x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x ₂=1，从而解得a=

1

2

…（10分）
（3）证明：当k=2013时，问题等价于证明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))
由导数可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，当且仅当x=

1

e

时取到，
设m(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，则m′(x)=

1-x

ex

，
∴m(x)max=m(1)=-

1

e

，当且仅当x=1时取到，
从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．故命题成立．…（16分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，难度大．