Question

已知函数f（x）=x³-x²+ax+b（a，b∈R）的一个极值点为x=1．方程ax²+x+b=0的两个实根为α，β（α＜β），函数f（x）在区间[α，β]上是单调的．
（1）求a的值和b的取值范围；
（2）若x₁，x₂∈[α，β]，证明：|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

Answer 1

【答案】分析：（1）一个极值点为x=1⇒f′（1）=0⇒a=-1，在利用函数f（x）在区间[α，β]上是单调的⇒b的取值范围．
（2）函数f（x）在区间[α，β]上是单调⇒|f（x₁）-f（x₂）|≤f（α）-f（β）再利用a的值和b的取值范围⇒|f（x₁）-f（x₂）|≤1．
解答：（1）解：∵f（x）=x³-x²+ax+b，
∴f′（x）=3x²-2x+a．
∵f（x）=x³-x²+ax+b的一个极值点为x=1，
∴f′（1）=3×1²-2×1+a=0．
∴a=-1．（2分）
∴f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1），
当时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
∵方程ax²+x+b=0的两个实根为α，β，即x²-x-b=0的两根为α，β（α＜β），
∴．
∴α+β=1，αβ=-b，．（4分）
∵函数f（x）在区间[α，β]上是单调的，
∴区间[α，β]只能是区间，，[1，+∞）之一的子区间．
由于α+β=1，α＜β，故．
若α＜0，则α+β＜1，与α+β=1矛盾．
∴[α，β]⊆[0，1]．
∴方程x²-x-b=0的两根α，β都在区间[0，1]上．（6分）
令g（x）=x²-x-b，g（x）的对称轴为，
则解得．
∴实数b的取值范围为．（8分）
说明：（6分）至（8分）的得分点也可以用下面的方法．
∵且函数f（x）在区间[α，β]上是单调的，
∴．
由即（6分）
解得．
∴实数b的取值范围为．（8分）
（2）证明：由（1）可知函数f（x）在区间[α，β]上单调递减，
∴函数f（x）在区间[α，β]上的最大值为f（α），最小值为f（β）．
∵x₁，x₂∈[α，β]，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（α）-f（β）=（α³-α²-α+b）-（β³-β²-β+b）=（α³-β³）-（α²-β²）-（α-β）=（α-β）[（α+β）²-αβ-（α+β）-1]==．（10分）
令，则，=．
设，则．
∵，
∴0＜t≤1．
∴＞0．
∴函数在（0，1]上单调递增．（12分）
∴h（t）≤h（1）=1．
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤1．（14分）
点评：函数的极值表示函数在某一点附近的情况，可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，也就是说，是极值点的充分条件是在这一点的两侧导数值异号．