Question

设函数f（x）=|x²-4x-5|．
（1）在区间[-2，6]上画出函数f（x）的图象；
（2）设集合A={x|f（x）≥5}，B=（-∞，-2]∪[0，4]∪[6，+∞）．试判断集合A和B之间的关系（要写出判断过程）；
（3）当k＞2时，求证：在区间[-1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．

Answer 1

分析：（1）当x²-4x-5＞0时，f（x）=x²-4x-5；当x²-4x-5＜0时，f（x）=x²-4x-5，进而画出图象．
（2）先求出f（x）≥5的解集，再判断集合A和B的关系．
（3）设函数g（x）=kx+3k-f（x），只要证明g（x）＞0恒成立即可．

解答：解：（1）设-2≤x≤6，当x²-4x-5≥0时，
即6≥x≥5或-1≥x≥-2时，f（x）=x²-4x-5=（x-2）²-9
当x²-4x-5＜0时，即-1＜x＜5时，f（x）=-（x²-4x-5）=-（x-2）²+9
故作图如下：


（2）方程f（x）=5的解分别是2-

14

，0，4
和2+

14

，由于f（x）在（-∞，-1]和[2，5]上单调递减，
在[-1，2]和[5，+∞）上单调递增，
∴A=( -∞，  2-

14

 ]  ∪[ 0，  4 ]∪[ 2+

14

，  +∞ )．
由于2+

14

＜6，2-

14

＞-2
∴B?A．

（3）当x∈[-1，5]时，f（x）=-x²+4x+5．
g（x）=k（x+3）-（-x²+4x+5）=x²+（k-4）x+（3k-5）=(x-

4-k

2

)2-

k2-20k+36

4

，
∵k＞2，∴

4-k

2

＜1．又-1≤x≤5，
①当-1≤

4-k

2

＜1，即2＜k≤6时，
取x=

4-k

2

，g（x）_min=-

k2-20k+36

4

=-

1

4

[(k-10)2-64]．
∵16≤（k-10）²＜64，
∴（k-10）²-64＜0，则g（x）_min＞0．
②当

4-k

2

＜-1，即k＞6时，取x=-1，g（x）_min=2k＞0．
由①、②可知，当k＞2时，g（x）＞0，x∈[-1，5]．
因此，在区间[-1，5]上，y=k（x+3）的图象位于函数f（x）图象的上方．

点评：本题主要考查了函数图象的应用．注意数形结合．