题目内容

定义数列{xn}：x1=1，xn+1=3
x
3
n
+2
x
2
n
+xn；数列{yn}：yn=
1
1+2xn+3xn2
；数列{zn}：zn=
2+3xn
1+2xn+3xn2
；若{yn}的前n项的积为P，{zn}的前n项的和为Q，那么P+Q=（　　）
分析：由xn+1=3
x
3
n
+2
x
2
n
+xn，变形为
xn
xn+1
=
1
1+2xn+3
x
2
n
，利用“累乘求积”可得P=
x1
xn+1
．由zn=
2+3xn
1+2xn+3
x
2
n
=
1+2xn+3
x
2
n
-1
xn+2
x
2
n
+3
x
3
n
=
1
xn
-
1
xn+1
，利用“累加求和”可得Q，进而得到P+Q．
解答：解：∵xn+1=3
x
3
n
+2
x
2
n
+xn，∴
xn
xn+1
=
1
1+2xn+3
x
2
n
，∴P=y1y2•…•yn=
x1
x2
•
x2
x3
•…•
xn
xn+1
=
x1
xn+1
．
∵zn=
2+3xn
1+2xn+3
x
2
n
=
1+2xn+3
x
2
n
-1
xn+2
x
2
n
+3
x
3
n
=
1
xn
-
1
xn+1
，∴Q=(
1
x1
-
1
x2
)+(
1
x2
-
1
x3
)+…+(
1
xn
-
1
xn+1
)=
1
x1
-
1
xn+1
．
∵x1=1，
∴P+Q=
1
xn+1
+1-
1
xn+1
=1．
故选A．
点评：本题考查了经过变形利用“累乘求积”求数列的乘积、利用“累加求和”求数列的和的基本技能方法，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
用[x]表示不超过x的最大整数，如[0.75]=0，[3.01]=3．如果定义数列{xn}的通项公式为xn=[
n4
](n∈N*)，则x1+x2+…+x4n=
 
．
设a＞0，函数f(x)=
1
x2+a
．
（Ⅰ）证明：存在唯一实数x0∈(0，
1
a
)，使f（x0）=x0；
（Ⅱ）定义数列{xn}：x1=0，xn+1=f（xn），n∈N*．
（i）求证：对任意正整数n都有x2n-1＜x0＜x2n；
（ii） 当a=2时，若0＜xk≤
1
2
(k=2，3，4，…)，证明：对任意m∈N*都有：|xm+k-xk|＜
1
3•4k-1
．
函数f（x）=x2-2x-3，定义数列{ xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4，5），Qn（ xn，f（ xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标．
（Ⅰ）证明：2≤xn＜xn+1＜3；
（Ⅱ）求数列{ xn}的通项公式．

函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标。

（Ⅰ）证明：2 xn＜xn+1＜3；

（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式。

 
（理科）函数f（x）定义如下表，数列{xn}满足x=5，且对任意的自然数均有xn-1=f（xn），则x2010等于（ ）
x12345
f（x）51342

A．1
B．2
C．4
D．5

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