题目内容
函数f（x）=x2-2x-3，定义数列{ xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4，5），Qn（ xn，f（ xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标．
（Ⅰ）证明：2≤xn＜xn+1＜3；
（Ⅱ）求数列{ xn}的通项公式．
（Ⅰ）证明：2≤xn＜xn+1＜3；
（Ⅱ）求数列{ xn}的通项公式．
分析：（Ⅰ）用数学归纳法证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为y-5=
(x-4)，当y=0时，可得x2=
；②假设n=k时，结论成立，即2≤xk＜xk+1＜3，直线PQk+1的方程为y-5=
(x-4)，当y=0时，可得xk+2=
，根据归纳假设2≤xk＜xk+1＜3，可以证明2≤xk+1＜xk+2＜3，从而结论成立．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得xn+1=
，构造bn=xn-3，可得{
+
}是以-
为首项，5为公比的等比数列，由此可求数列{ xn}的通项公式．
| f(2)-5 |
| 2-4 |
| 11 |
| 4 |
| f(xk+1)-5 |
| xk+1-4 |
| 3+4xk+1 |
| 2+xk+1 |
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得xn+1=
| 3+4xn |
| 2+xn |
| 1 |
| bn |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
解答：（Ⅰ）证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为y-5=
(x-4)
当y=0时，∴x2=
，∴2≤x1＜x2＜3；
②假设n=k时，结论成立，即2≤xk＜xk+1＜3，直线PQk+1的方程为y-5=
(x-4)
当y=0时，∴xk+2=
∵2≤xk＜xk+1＜3，∴xk+2=4-
＜4-
=3
xk+2-xk+1=
＞0
∴xk+1＜xk+2
∴2≤xk+1＜xk+2＜3
即n=k+1时，结论成立
由①②可知：2≤xn＜xn+1＜3；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得xn+1=
设bn=xn-3，∴
=
+1
∴
+
= 5(
+
)
∴{
+
}是以-
为首项，5为公比的等比数列
∴
+
=(-
)×5n-1
∴bn=-
∴xn=bn+3=3-
．
| f(2)-5 |
| 2-4 |
当y=0时，∴x2=
| 11 |
| 4 |
②假设n=k时，结论成立，即2≤xk＜xk+1＜3，直线PQk+1的方程为y-5=
| f(xk+1)-5 |
| xk+1-4 |
当y=0时，∴xk+2=
| 3+4xk+1 |
| 2+xk+1 |
∵2≤xk＜xk+1＜3，∴xk+2=4-
| 5 |
| 2+xk+1 |
| 5 |
| 2+3 |
xk+2-xk+1=
| (3-xk+1)(1+xk+1) |
| 2+xk+1 |
∴xk+1＜xk+2
∴2≤xk+1＜xk+2＜3
即n=k+1时，结论成立
由①②可知：2≤xn＜xn+1＜3；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得xn+1=
| 3+4xn |
| 2+xn |
设bn=xn-3，∴
| 1 |
| bn+1 |
| 5 |
| bn |
∴
| 1 |
| bn+1 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| bn |
| 1 |
| 4 |
∴{
| 1 |
| bn |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴
| 1 |
| bn |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴bn=-
| 4 |
| 3×5n-1+1 |
∴xn=bn+3=3-
| 4 |
| 3×5n-1+1 |
点评：本题考查数列的通项公式，考查数列与函数的综合，解题的关键是从函数入手，确定直线方程，求得交点坐标，再利用数列知识解决．
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