Question

（2011•南通模拟）已知函数f(x)=5sinxcosx-5

3

cos2x（其中x∈R）．
求：
①函数f（x）的最小正周期；  
②函数f（x）的单调递减区间；
③函数f（x）图象的对称轴．

Answer 1

分析：利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为 f（x）=5sin(2x-

π

3

)-

5 3

2

，由此求得f（x）最小正周期、单调区间、对称轴．

解答：解∵f(x)=

5

2

sin2x-5

3

1+cos2x

2

=

5

2

sin2x-

5 3

2

cos2x-

5 3

2

 
=5(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)-

5 3

2

=5sin(2x-

π

3

)-

5 3

2

，
∴①f（x）最小正周期T=π；
②由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈Z，
故f（x）的单调减区间为[kπ+

5π

12

 ，  kπ+

11π

12

]，k∈z．
③由2x-

π

3

=kπ+

π

2

(k∈Z)，求得f（x）的对称轴为x=

kπ

2

+

5π

12

(k∈Z)．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，符合三角函数的周期性、单调性和对称性，属于中档题．