Question

（2011•南通模拟）若

π

4

是函数f（x）=sin2x+acos²x（a∈R，为常数）的零点，则f（x）的最小正周期是

π

．

Answer 1

分析：由f（

π

4

）=sin

π

2

+acos²

π

4

=0，可求得a=-2，于是f（x）=sin2x-2cos²x转化为：f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1，
从而可求其周期．

解答：解：∵

π

4

是函数f（x）=sin2x+acos²x（a∈R，为常数）的零点，
∴f（

π

4

）=sin

π

2

+acos²

π

4

=0，
∴1+

1

2

a=0，
∴a=-2．
∴f（x）=sin2x-2cos²x
=sin2x-cos2x-1
=

2

sin（2x-

π

4

）-1，
∴f（x）的最小正周期为π．
故答案为：π

点评：本题考查函数的零点，由f（

π

4

）=0求得a的值是基础，利用辅助角公式转化是关键，属于中档题．