Question

设动点P到两定点F₁(－l，0)和F₂(1，0)的距离分别为d₁和d₂，∠F₁PF₂＝2θ，且存在常数λ(0＜λ＜1)，使得d₁d₂ sin²θ＝λ．

（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

（2）如图，过点F₂的直线与双曲线C的右支交于A、B两点．问：是否存在λ，使△F₁AB是以点B为直角定点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）在中，

（小于的常数）

故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．

方程为．

（2）方法一：在中，设，，，．

假设为等腰直角三角形，则

由②与③得，

则

由⑤得，

，

故存在满足题设条件．

方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得

所以，

则．①

由，可设，

则，．

则．②

由①②得．③

根据双曲线定义可得，．

平方得：．④

由③④消去可解得，

故存在满足题设条件．