Question

设f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求证：
（Ⅰ）方程f（x）=0有实根；
（Ⅱ）-2＜＜-1；
（Ⅲ）设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个实根，则≤|x₁-x₂|＜。

Answer 1

证明：（Ⅰ）若a=0，则b=-c，
f(0)f(1)=c(3a+2b+c)=-c²≤0，
与已知矛盾，所以a≠0，
方程3ax²+2bx+c=0的判别式△=4（b²-3ac），
由条件a+b+c=0，消去b，
得△=4（a²+c²-ac），
故方程f(x)=0有实根；
（Ⅱ）由f（0）f（1）＞0，得，
由条件a+b+c=0，消去c，得，
因为，
所以，
故。
（Ⅲ）由条件，知，
所以(x₁-x₂)²=(x₁-x₂)²-4x₁x₂，
因为，
所以，
故。