题目内容

设f(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),若a+b+c=0,f(0)•f(1)>0,求证:
(I) -2<
b
a
<-1

(II) 设x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,则
3
3
≤|x1-x2|<
2
3
分析:(I)由f(0)f(1)>0得c(3a+2b+c)>0,又a+b+c=0可得2a2+3ab+b2<0,变形为(
b
a
)
2
+3•
b
a
+2<0,求解即可.
(II)由韦达定理来构造:|x1-x2|=
1-x 2 ) 2-41•x 2 
=
4
9
(
b
a
)
2
4
3
b
a
+
4
3
,利用(I)的结论结合二次函数的性质即可证得结论.
解答:(I)证明:∵f(0)f(1)>0,∴c(3a+2b+c)>0. 又a+b+c=0,即c=-a-b,
所以(-a-b)(2a+b)>0,即2a2+3ab+b2<0.
由2a2+3ab+b2<0知a2≠0,
(
b
a
)
2
+3•
b
a
+2<0,解得 -2<
b
a
<-1

(II)证明:∵x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,∴x1+x2=-
2b
3a

1•x2 = 
c
3a
 = 
-a-b
3a
=-
1
3
-
1
3
b
a

故|x1-x2|=
1-x 2 ) 2-41•x 2 
=
4
9
(
b
a
)
2
4
3
b
a
+
4
3

-2<
b
a
<-1
,利用二次函数的性质可得
3
3
<|x1-x2|<
2
3
点评:本题主要考查函数与方程的综合运用,主要涉及了函数与方程的转化,构造不等式,二次函数求最值等,属于中档题
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