题目内容
设f(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),若a+b+c=0,f(0)•f(1)>0,求证:
(I) -2<
<-1
(II) 设x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,则
≤|x1-x2|<
.
(I) -2<
b |
a |
(II) 设x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,则
| ||
3 |
2 |
3 |
分析:(I)由f(0)f(1)>0得c(3a+2b+c)>0,又a+b+c=0可得2a2+3ab+b2<0,变形为(
)2+3•
+2<0,求解即可.
(II)由韦达定理来构造:|x1-x2|=
=
,利用(I)的结论结合二次函数的性质即可证得结论.
b |
a |
b |
a |
(II)由韦达定理来构造:|x1-x2|=
( x 1-x 2 ) 2-4x 1•x 2 |
|
解答:(I)证明:∵f(0)f(1)>0,∴c(3a+2b+c)>0. 又a+b+c=0,即c=-a-b,
所以(-a-b)(2a+b)>0,即2a2+3ab+b2<0.
由2a2+3ab+b2<0知a2≠0,
∴(
)2+3•
+2<0,解得 -2<
<-1.
(II)证明:∵x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,∴x1+x2=-
,
x 1•x2 =
=
=-
-
•
.
故|x1-x2|=
=
.
∵-2<
<-1,利用二次函数的性质可得
<|x1-x2|<
.
所以(-a-b)(2a+b)>0,即2a2+3ab+b2<0.
由2a2+3ab+b2<0知a2≠0,
∴(
b |
a |
b |
a |
b |
a |
(II)证明:∵x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,∴x1+x2=-
2b |
3a |
x 1•x2 =
c |
3a |
-a-b |
3a |
1 |
3 |
1 |
3 |
b |
a |
故|x1-x2|=
( x 1-x 2 ) 2-4x 1•x 2 |
|
∵-2<
b |
a |
| ||
3 |
2 |
3 |
点评:本题主要考查函数与方程的综合运用,主要涉及了函数与方程的转化,构造不等式,二次函数求最值等,属于中档题
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