题目内容

已知椭圆：的离心率为，过椭圆的右焦点F且斜率为1的直线交椭圆于两点，为弦的中点，为坐标原点。

（1）求直线的斜率；

（2）对于椭圆上的任意一点，试证：总存在，使得等式成立.

 

【答案】

（1）.（2）见解析

【解析】（1）由椭圆的离心率为，得到的关系，把椭圆的方程化为，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用跟与系数的关系求出点的坐标用表示，就得到直线的斜率；（2）根据平面向量基本定理得有且只有一对实数使得等式成立，再由点在椭圆上和（1）中的根与系数求得，然后再证明存在，满足结论成立

显然与是同一平面内的两个不共线的向量,由平面向量的基本定理知,对于这一平面内的向量有且只有一对实数使得等式成立.

设,由(1)中各点的坐标可得,

,又点在椭圆C上,则代入①式,得

,整理可得

      ⑤

由②和④得又A,B两点在椭圆上,故有

代入⑤并化简,得.…………………12分

由可得,    又是唯一确定的实数,并且,

存在角,使得成立,则有,.

若,则存在(R)使得等式成立;

若,由于,于是用代换-,

同样可证得存在(R)使得等式成立.

综上所述,对于椭圆上的任意一点M,总存在(R)使得等式成立

 

练习册系列答案
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精英家教网已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个公共点，若
|PF1|
|PF2|
=e，则e的值为（　　）
A、
3
3
B、
3
2
C、
2
2
D、
6
3
精英家教网如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为
2
3
，点M的横坐标为
9
2
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1•k2的取值范围．
已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F1、F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若
|PF1|
|PF2|
=e，则e的值为
3
3
3
3
．
已知椭圆C的离心率为e=
6
3
，一条准线方程为x=
3
2
2
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设动点P满足：
OP
=
OM
+
ON
，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为-
1
3
，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，求A，B的坐标；若不存在，说明理由．
（A题） （奥赛班做）已知椭圆E的离心率为e，左右焦点分别为F1、F2，抛物线C以F1顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，
|PF1|
|PF2|
=e，则e的值为
3
3
3
3
．

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