Question

已知△ABC的外接圆半径R为6，面积为S，a、b、c分别是角A、B、C的对边设S=a2-(b-c)2，sinB+sinC=

4

3

．
（I）求sinA的值；
（II）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（I）由S=

1

2

bcsinA，又S=a²-（b-c）²，
可得：

1

2

bcsinA=a²-（b²-2bc+c²）=2bc-（b²+c²-a²）=2bc-2bccosA，又bc≠0，
变形得：

1

4

=

1-cosA

sinA

，即cosA=1-

1

4

sinA，
两边平方得：cos²A=（1-

1

4

sinA）²，又sin²A+cos²A=1，
可得1-sin²A=1-

1

2

sinA+

1

16

sin²A，即

17

16

sin²A-

1

2

sinA=0，
又sinA≠0，
∴sinA=

8

17

；
（II）由sinB+sinC=

4

3

，
根据正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

=2R，可得

b

2R

+

c

2R

=

4

3

，又∵R=6，∴b+c=16，
∴S=

1

2

bcsinA=

4

17

bc≤

4

17

(

b+c

2

)2=

256

17

，当且仅当b=c=8时，Smax=

256

17

，
此时sinB=sinC=

2

3

∴sinA=sin(B+C)=

4 5

9

(≠

8

17

)与第一问矛盾，
由a=2RsinA=2×6×

8

17

=

96

17

，且b+c=16，
根据余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得：bc=

1012

17

，
此时S=

1

2

bcsinA=

4048

289

，
则△ABC面积的最大值为

4048

289

．