题目内容

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 $数学公式$ ，且经过点P $数学公式$ ．
（1）求C的标准方程；
（2）直线l与C交于A、B两点，M为AB中点，且AB=2MP．请问直线l是否经过某个定点，如果经过定点，求出点的坐标；如果不过定点，请说明理由．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，设C标准方程为 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，∴a²=2，
∴C的方程为 $\text{[math]}$
（2）若l斜率存在，设AB坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设l方程为y=kx+b代入椭圆方程整理得：（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0，∴ $\text{[math]}$ ，
由AB=2MP得AP⊥PB，即 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ∵ $\text{[math]}$
代入化简得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
若 $\text{[math]}$ ，则过定点 $\text{[math]}$ ，不合题意，舍去；
若 $\text{[math]}$ ，则过定点 $\text{[math]}$ ；
若l斜率不存在，通过 $\text{[math]}$ ，
综上所述，l通过定点，此点坐标为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，设C标准方程，代入 $\text{[math]}$ ，可得a²=2，从而可得C的方程；
（2）若l斜率存在，设l方程为y=kx+b代入椭圆方程整理，利用韦达定理，由AB=2MP得AP⊥PB，即 $\text{[math]}$ ，由此可得k，b的关系，从而可得结论；若l斜率不存在，验证即可．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确运用韦达定理是关键．