Question

如图，函数y=f（x）的图象是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的两段弧，则不等式f（x）＜f（-x）+x的解集为（　　）

• A、{

  2

  2

  ＜x≤2或

  2

  2

  ＜x≤2}
• B、{x|-2≤x＜

  2

  或

  2

  ＜x≤2}
• C、{x|-

  2

  ＜x＜0或

  2

  ＜x≤2}
• D、{x|-

  2

  ＜x＜

  2

  ，且x≠0}

Answer 1

分析：由图象知f（x）为奇函数，原不等式可化为f（x）＜

x

2

，把包含这两段弧的椭圆方程和直线y=

x

2

 联立，解得x的值，结合图象得到不等式的解集．

解答：解：由图象知f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
∴原不等式可化为f（x）＜

x

2

．由图象易知，包含这两段弧的椭圆方程为

x2

4

+y²=1，
与直线y=

x

2

联立得

x2

4

+

x2

4

=1，
∴x²=2，x=±

2

．
观察图象知：-

2

＜x＜0，或

2

＜x≤2，
故选C．

点评：本题考查椭圆的标准方程，奇函数的性质，体现了数形结合及转化的数学思想．根据已知条件对不等式进行转化变形是解答本题的关键．