Question

函数g（x）=log₂

2x

x+1

（x＞0），关于方程|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则实数m的取值范围为（　　）

• A、（-∞，4-2

  7

  ）∪（4+2

  7

  ，+∞）
• B、（4-2

  7

  ，4+2

  7

  ）
• C、（-

  3

  4

  ，-

  2

  3

  ）
• D、（-

  3

  2

  ，-

  4

  3

  ）

Answer 1

分析：先确定0＜g（x）＜2，作出y=|g（x）|大致图象，设|g（x）|=t，则|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，即为t²+mt+2m+3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在[1，+∞）上，由此可得结论．

解答：解：∵

2x

x+1

=

2(x+1)-2

x+1

=2-

2

x+1

，
∴当x＞0时，0＜2-

2

x+1

＜2，
即0＜g（x）＜1，
则y=|g（x）|大致图象如图所示，
设|g（x）|=t，则|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，
即为t²+mt+2m+3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在[1，+∞）上，
设h（t）=t²+mt+2m+3，
①当有一个根为1时，h（1）=1²+m+2m+3=0，解得m=-

4

3

，此时另一根为

1

3

，满足条件．
②根不是1时，则满足

h(0)＞0 h(1)＜0

，
∴

2m+3＞0 1+m+2m+3＜0

，
即

m＞- 3 2 m＜- 4 3

，
∴-

3

2

＜m＜-

4

3

．
即实数m的取值范围为（-

3

2

，-

4

3

），
故选：D．

点评：本题主要考查函数的单调性，考查函数的值域，考查方程根的问题，考查学生分析解决问题的能力，利用换元法将函数转化为一元二次函数，利用数形结合是解决本题的关键．