Question

【题目】如图，已知AB是圆O的直径，C是圆O上一点，AC=BC，且PA⊥平面ABC，E是AC的中点，F是PB的中点，PA=，AB=2．求：

（Ⅰ）异面直线EF与BC所成的角；

（Ⅱ）点A到平面PBC的距离．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）60°（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）连接OE，OF，说明∠FEO是异面直线EF与BC所成的角，解三角形即可。

（Ⅱ）证明BC⊥平面PAC，即可计算出S△PBC=2，利用等体积法列方程即可得解。

解：（I）连接OE，OF．

∵O是AB的中点，E是AC的中点，

∴OE∥BC，

∴∠FEO是异面直线EF与BC所成的角，

∵O是AB的中点，F是PB的中点，

∴OF∥PA，又PA⊥平面ABC，

∴OF⊥平面ABC，

∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，

∵AC=BC，AB=2，∴BC=，∴OE=BC=，

又OF=PA=，∴tan∠FEO==，

∴异面直线EF与BC所成的角为60°．

（II）∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴PA⊥BC，

∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，

又PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC．

∵PC==2，∴S△PBC==2．

设A到平面PBC的距离为h，则VA-PBC==．

又VA-PBC=VP-ABC===，

∴h=，即A到平面PBC的距离为．